题目内容

已知抛物线的顶点为(0,4)且与x轴交于(﹣2,0),(2,0).

(1)直接写出抛物线解析式;
(2)如图,将抛物线向右平移k个单位,设平移后抛物线的顶点为D,与x轴的交点为A、B,与原抛物线的交点为P.
①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时,求此时k的值;
②是否存在这样的k值,使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上?若存在,求出k值;若不存在,请说明理由.

解:(1)y=﹣x2+4。
(2)①如图,连接CE,CD,

∵OD是⊙C的切线,∴CE⊥OD。
在Rt△CDE中,∠CED=90°,CE=AC=2,DC=4,
∴∠EDC=30°。
∴在Rt△CDO中,∠OCD=90°,CD=4,∠ODC=30°,
∴OC=
∴当直线OD与以AB为直径的圆相切时,k=OC=
②存在k=,能够使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上。理由如下:
设抛物线y=﹣x2+4向右平移k个单位后的解析式是y=﹣(x﹣k)2+4,它与y=﹣x2+4交于点P,
由﹣(x﹣k)2+4=﹣x2+4,解得x1=,x2=0(不合题意舍去)。
当x=时,y=﹣k2+4。
∴点P的坐标是(,﹣k2+4)。
设直线OD的解析式为y=mx,把D(k,4)代入,得mk=4,解得m=
∴直线OD的解析式为y=x。
若点P(,﹣k2+4)在直线y=x上,得﹣k2+4=,解得k=±(负值舍去)。
∴当k=时,O、P、D三点在同一条直线上。

解析试题分析:(1)∵抛物线的顶点为(0,4),∴可设抛物线解析式为y=ax2+4。
又∵抛物线过点(2,0),∴0=4a+4,解得a=﹣1。∴抛物线解析式为y=﹣x2+4。
(2)①连接CE,CD,根据切线的性质得出CE⊥OD,再解Rt△CDE,得出∠EDC=30°,然后Rt△CDO,得出OC=,则k=OC=
②设抛物线y=﹣x2+4向右平移k个单位后的解析式是y=﹣(x﹣k)2+4,它与y=﹣x2+4交于点P,先求出交点P的坐标是(,﹣k2+4),再利用待定系数法求出直线OD的解析式为y=x,然后将点P的坐标代入y=x,即可求出k的值。

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网