题目内容
已知：如图，圆内接四边形ABCD的两边AB，DC的延长线相交于点E，DF经过⊙O的圆心，交AB于点F，AB=BE，连接AC，且OD=3，FA=FB=
．
（1）求证：△DAC∽△DEA；
（2）求出DA，AC的长度．
| 5 |
（1）求证：△DAC∽△DEA；
（2）求出DA，AC的长度．
（1）∵DF过圆心，且AF=BF，
∴DF⊥AB，
=
，
∴∠ACD=∠EAD，又∠ADC=∠EDA，
∴△DAC∽△DEA；
（2）连接OA，如图所示：
∵DF⊥AB，
∴∠AFD=∠DFE=90°，
在Rt△AOF中，OA=OD=3，AF=
，
根据勾股定理得：OF=
=2，
∴DF=OD+OF=3+2=5，
在Rt△ADF中，AF=
，DF=5，
根据勾股定理得：AD=
=
，
又EF=FB+BE=FB+AB=3
，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DE=
=
，
∴AE=AF+EF=4
，
∵△DAC∽△DEA，
∴
=
，即
=
，
则AC=
．
∴DF⊥AB，
 |
| AD |
|
| DB |
∴∠ACD=∠EAD，又∠ADC=∠EDA，
∴△DAC∽△DEA；
（2）连接OA，如图所示：
∵DF⊥AB，
∴∠AFD=∠DFE=90°，
在Rt△AOF中，OA=OD=3，AF=
| 5 |
根据勾股定理得：OF=
| OA2-AF2 |
∴DF=OD+OF=3+2=5，
在Rt△ADF中，AF=
| 5 |
根据勾股定理得：AD=
| AF2+DF2 |
| 30 |
又EF=FB+BE=FB+AB=3
| 5 |
在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DE=
| EF2+DF2 |
| 70 |
∴AE=AF+EF=4
| 5 |
∵△DAC∽△DEA，
∴
| AC |
| AE |
| AD |
| DE |
| AC | ||
4
|
| ||
|
则AC=
4
| ||
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