题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-
x+c交x轴于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0），交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知点P为抛物线上一点，直线PC与x轴交于点Q，使得PQ=
CQ，求P点坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，是否存在以A，C，M，N为顶点的矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-
x2-
x+4；（2）P点坐标（-
，5）或（-
，5）或（
，-5）或（
，-5）；
（3）存在以A、C、M、N为顶点的矩形，点N的坐标为：（2，
）或（-4，
）或（-2，2-
）或（-2，2+）．
【解析】
（1）把点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0）代入y=ax2-
x+c求解即可；
（2）设P（m，-
m2-m+4），作PH⊥x轴于H，由平行可得△QCO∽△QPH，由相似三角形对应线段成比例可得m值，代入求点P坐标即可；
（3）设点M的坐标为（-1，m），可求得AM、AC、CM长，分AC为边或AC为对角线两种情况由勾股定理可得m值，易知点M坐标，由全等三角形的性质确定N点坐标即可.
解：（1）把点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0）代入y=ax2-x+c得
，
解得：
，
∴该抛物线的解析式为y=-x2-x+4；
（2）∵点P为抛物线上一点，
∴设P（m，-m2-m+4），作PH⊥x轴于H，
∴PH∥OC，
∴△QCO∽△QPH，
∴
=
=
，
∴
=±，
解得：m1=-
，m2=-
，m3=，m4=，
∴P点坐标（-，5）或（-，5）或（，-5）或（，-5）；
（3）∵抛物线y=-x2-x+4的对称轴为x=-1，
设点M的坐标为（-1，m），
∵点A的坐标为（-3，0），点C的坐标为（0，4），
∴AM=
=
，AC=
=5，CM=
=
，
分AC为边或AC为对角线两种情况考虑：
①当AC为边时，有AC2+AM2=CM2或AC2+CM2=AM2，即25+m2+4=m2-8m+17或25+m2-8m+17=m2+4，
解得：m1=-
或m2=
，
∴点M的坐标为（-1，-）或（-1，）；
如图2，分别过M或N作y轴或x轴的垂线，
由全等三角形的性质得，N点的坐标为：（2，
）或（-4，
）；
②当AC为对角线时，有AM2+CM2=AC2，即m2+4+m2-8m+17=25，
解得：m3=2+
，m4=2-，
∴点M的坐标为（-1，2+）或（-1，2-）．
如图3，分别过M或N作y轴或x轴的垂线，
由全等三角形的性质得，N点的坐标为（-2，2-）或（-2，2+）
综上所述：存在以A、C、M、N为顶点的矩形，点N的坐标为：（2，）或（-4，）或（-2，2-）或（-2，2+）．
