题目内容
【题目】我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
【答案】（1）①
;②4;(2) AD=BC.
【解析】试题分析：（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=AB′即可解决问题；②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；
（2）如图1中，延长AD到Q，使得AD=DQ，连接B′Q，C′Q，根据∠QB′A=∠BAC，QB′=AC′=AC，AB′=AB，即可得到△AQB′≌△BAC，即可解决问题．
试题解析：
解：（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=AB′=AC′，
∵DB′=DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=120°，
∴∠B′=∠C′=30°，
∴AD=AB′=BC，
故答案为．
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为4．
理由：∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=∠BAC=90°，
∵AB=AB′，AC=AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC=B′C′，
∵B′D=DC′，
∴AD=B′C′=BC=4，
故答案为4．
（2）猜想AD＝BC．
证明：如图，延长AD至点Q，则△DQB'≌△DAC'，
∴QB'=AC'，QB'∥AC'，
∴∠QB'A+∠B'AC'=180°，
∵∠BAC+∠B'AC'=180°，
∴∠QB'A=∠BAC，
又由题意得到QB'=AC'=AC，AB'=AB，
∴△AQB'≌△BCA，
∴AQ=BC=2AD，
即AD＝BC．
