题目内容

【题目】已知:在矩形ABCD中,点FAD中点,EAB边上一点,连接CEEFCFEF平分∠AEC.

(1)如图1,求证:CF⊥EF;

(2)如图2,延长CEDA交于点K, 过点FFGABCE于点G若,点HFG上一点,连接CH,若∠CHG=BCE, 求证:CH=FK;

(3)如图3, 过点HHN⊥CHAB于点N,EN=11,FH-GH=1,GK.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)CN=25.

【解析】

(1)如图,延长EFCD延长线于点Q,先证明CQ=CE,再证明△FQD≌△FEA,根据全等三角形的对应边相等可得EF=FQ,再根据等腰三角形的性质即可得CFEF

(2)分别过点FHFM⊥CE HP⊥CD,垂足分别为MP,证明四边形DFHP是矩形,继而证明△HPC≌△FMK,根据全等三角形的性质即可得CH=FK

(3)连接CN,延长HGCN于点T,设∠DCF=α,则∠GCF=α 先证明得到FG=CG=GE∠CGT=2,再由FGBC的中垂线,可得BG = CG ∠CGT=∠FGK=∠BGT=2,再证明HN∥BG,得到四边形HGBN是平行四边形,继而证明△HNC≌△KGF,推导可得出HT=CT=TN ,由FH-HG=1,所以设GH=m,则BN=mFH=m+1CE=2FG=4m+2,继而根据,可得关于m的方程,解方程求得m的值即可求得答案.

(1)如图,延长EFCD延长线于点Q

∵矩形ABCDAB∥CD

∠AEF=∠CQE A=∠QDF

又∵EF 平分∠AEC

∠AEF=∠CEF

∠CEF=∠CQE

CQ=CE

FAD中点,

AF=DF

∴△FQD≌△FEA

EF=FQ

∵CE=CQ

CFEF

(2)分别过点FHFM⊥CE HP⊥CD,垂足分别为MP

CQ=CE CF⊥EF

∠DCF=∠FCE

又∵FDCD

FM=DF

FG//AB∴∠DFH=DAC=90°

DFH=∠FDP=∠DPH=90°

∴四边形DFHP是矩形,

DF=HP

FM= DF=HP

∠CHG=∠BCEAD∥BCFG∥CD

∠K=∠BCE=∠CHG=∠DCH

∵∠FMK=∠HPC=90°

△HPC≌△FMK

CH=FK

(3)连接CN,延长HGCN于点T,设∠DCF=α,则∠GCF=α

FG∥CD ,∴∠DCF=CFG

∴∠FCG=∠CFG,∴FG=CG

CF⊥EF

∠FEG+FCG=90°∠CFG+∠GFE=90°

GFE=∠FEG∴GF=FE

∴FG=CG=GE∠CGT=2

FGBC的中垂线,

∴BG = CG ∠CGT=∠FGK=∠BGT=2

∠CHG=∠BCE=90°-2∠CHN=90°

∠GHN=∠FGK=∠BGT=2

HN∥BG

∴四边形HGBN是平行四边形,

HG=BNHN=BG = CG =FG

△HNC≌△KGF

GK=CN∠HNC=∠FGK=∠NHT=2

HT=CT=TN

FH-HG=1,∴设GH=m,则BN=mFH=m+1CE=2FG=4m+2

GT=,∴CN=2HT=11+2m

(舍去)

CN=GK=2HT=25.

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