题目内容
【题目】已知:在矩形ABCD中,点F为AD中点,点E为AB边上一点,连接CE、EF、CF,EF平分∠AEC.
(1)如图1,求证:CF⊥EF;
(2)如图2,延长CE、DA交于点K, 过点F作FG∥AB交CE于点G若,点H为FG上一点,连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证:CH=FK;
(3)如图3, 过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)CN=25.
【解析】
(1)如图,延长EF交CD延长线于点Q,先证明CQ=CE,再证明△FQD≌△FEA,根据全等三角形的对应边相等可得EF=FQ,再根据等腰三角形的性质即可得CF⊥EF;
(2)分别过点F、H作FM⊥CE ,HP⊥CD,垂足分别为M、P,证明四边形DFHP是矩形,继而证明△HPC≌△FMK,根据全等三角形的性质即可得CH=FK;
(3)连接CN,延长HG交CN于点T,设∠DCF=α,则∠GCF=α, 先证明得到FG=CG=GE,∠CGT=2,再由FG是BC的中垂线,可得BG = CG, ∠CGT=∠FGK=∠BGT=2,再证明HN∥BG,得到四边形HGBN是平行四边形,继而证明△HNC≌△KGF,推导可得出HT=CT=TN ,由FH-HG=1,所以设GH=m,则BN=m,FH=m+1,CE=2FG=4m+2,继而根据,可得关于m的方程,解方程求得m的值即可求得答案.
(1)如图,延长EF交CD延长线于点Q,
∵矩形ABCD,AB∥CD,
∴∠AEF=∠CQE, ∠A=∠QDF,
又∵EF 平分∠AEC ,
∴∠AEF=∠CEF,
∴∠CEF=∠CQE,
∴CQ=CE,
∵点F是AD中点,
∴AF=DF,
∴△FQD≌△FEA,
∴EF=FQ,
又∵CE=CQ,
∴CF⊥EF;
(2)分别过点F、H作FM⊥CE ,HP⊥CD,垂足分别为M、P,
∵CQ=CE ,CF⊥EF,
∴∠DCF=∠FCE,
又∵FD⊥CD,
∴FM=DF,
∵FG//AB,∴∠DFH=∠DAC=90°,
∴∠DFH=∠FDP=∠DPH=90°,
∴四边形DFHP是矩形,
∴DF=HP,
∴FM= DF=HP,
∵∠CHG=∠BCE,AD∥BC,FG∥CD,
∴∠K=∠BCE=∠CHG=∠DCH,
又∵∠FMK=∠HPC=90°,
∴△HPC≌△FMK,
∴CH=FK;
(3)连接CN,延长HG交CN于点T,设∠DCF=α,则∠GCF=α,
∵FG∥CD ,∴∠DCF=∠CFG,
∴∠FCG=∠CFG,∴FG=CG,
∵CF⊥EF,
∴∠FEG+∠FCG=90°,∠CFG+∠GFE=90°,
∴∠GFE=∠FEG,∴GF=FE,
∴FG=CG=GE,∠CGT=2,
∵FG是BC的中垂线,
∴BG = CG, ∠CGT=∠FGK=∠BGT=2,
∵∠CHG=∠BCE=90°-2,∠CHN=90°,
∴∠GHN=∠FGK=∠BGT=2,
∴HN∥BG,
∴四边形HGBN是平行四边形,
∴HG=BN,HN=BG = CG =FG,
∴△HNC≌△KGF,
∴GK=CN,∠HNC=∠FGK=∠NHT=2,
∴HT=CT=TN ,
∵FH-HG=1,∴设GH=m,则BN=m,FH=m+1,CE=2FG=4m+2,
∵GT=,∴CN=2HT=11+2m,
∵,
∴
∴(舍去),,
∴CN=GK=2HT=25.