题目内容
【题目】二次函数(a<0)图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3,1,与y轴交于点C,下面四个结论:
①16a﹣4b+c<0;②若P(﹣5,y1),Q(,y2)是函数图象上的两点,则y1>y2;③a=﹣
c;④若△ABC是等腰三角形,则b=﹣
.其中正确的有______(请将结论正确的序号全部填上)
【答案】①③.
【解析】解:①∵a<0,∴抛物线开口向下,∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3,1,∴当x=﹣4时,y<0,即16a﹣4b+c<0;
故①正确;
②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3,1,∴抛物线的对称轴是:x=﹣1,∵P(﹣5,y1),Q(,y2),﹣1﹣(﹣5)=4,
﹣(﹣1)=3.5,由对称性得:(﹣4.5,y3)与Q(
,y2)是对称点,∴则y1<y2;
故②不正确;
③∵=﹣1,∴b=2a,当x=1时,y=0,即a+b+c=0,3a+c=0,a=﹣
c;
④要使△ACB为等腰三角形,则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,当AB=BC=4时,∵AO=1,△BOC为直角三角形,又∵OC的长即为|c|,∴c2=16﹣9=7,∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴c=,与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组,解得b=﹣
;
同理当AB=AC=4时,∵AO=1,△AOC为直角三角形,又∵OC的长即为|c|,∴c2=16﹣1=15,∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴c=,与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组,解得b=﹣
;
同理当AC=BC时,在△AOC中,AC2=1+c2,在△BOC中BC2=c2+9,∵AC=BC,∴1+c2=c2+9,此方程无实数解.
经解方程组可知有两个b值满足条件.
故⑤错误.
综上所述,正确的结论是①③.
故答案为:①③.
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【题目】有这样一个问题:探究函数的图象与性质.小东根据学习函数的经验,对函数
的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完整:
(1)函数的自变量x的取值范围是 ;
(2)下表是x与y的几组对应值.
... | 1 | 2 | 3 | ... | ||||||||
... | m | ... |
求m的值;
(3)如图,在平面直角坐标系中,已描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;
(4)进一步探究发现,该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,).结合函数的图象,写出该函数的其它性质(写两条即可).