Question

【题目】如图，直径为AB的⊙O交Rt△BCD的两条直角边BC、CD于点E、F，且 ，连接BF．

（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）当CF=1且∠D=30°时，求AD长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OF．

∵ ，

∴∠CBF=∠FBA，

∵OF=OB，

∴∠FBO=∠OFB，

∴∠CBF=∠OFB，

∴BC∥OF，

∴∠OFC+∠C=180°，

∵∠C=90°，

∴∠OFC=90°，即OF⊥DC，

∴CD为⊙O的切线．

（2）

解：连接AF．

∵∠D=30°，∠C=90°，

∴∠CBD=60°

∵ ，

∴∠CBF=∠DBF= ∠CBD=30°，

在Rt△BCF中，∵FC=1，∠CBF=30°，

∴BF=2CF=2．

∴BC= = ，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

在Rt△AFB中，∵∠ABF=30°，BF=2，

∴AF= AB．

∴AB2=（ AB）2+BF2，即 AB2=4，AB= ，

在Rt△DCB中，∵∠D=30°，BC= ，

∴BD=2BC=2 ．

∴AD=DB﹣AB=2 ﹣ = ．

【解析】（1）连接OF，只要证明OF∥BC，即可推出OF⊥CD，由此即可解决问题．（2）连接AF．思想在Rt△BCF中，求出BC，再在Rt△DBC中，求出DB，在Rt△ABF中，求出AB，根据AD=DB﹣AB即可解决问题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用含30度角的直角三角形和圆心角、弧、弦的关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．