Question

【题目】如图（1），∠AOB=45°，点P、Q分别是边OA，OB上的两点，且OP=2cm．将∠O沿PQ折叠，点O落在平面内点C处．
（1）①当PC∥QB时，求OQ的长度；
②当PC⊥QB时，求OQ的长．
（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求OQ的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①当PC∥QB时，∠O=∠CPA，

由折叠的性质得：∠C=∠O，OP=CP，

∴∠CPA=∠C，

∴OP∥QC，

∴四边形OPCQ是平行四边形，

∴四边形OPCQ是菱形，

∴OQ=OP=2cm；

故答案为：2cm；

②当PC⊥QB时，分两种情况：

（i）如图1所示：设OQ=xcm，

∵∠O=45°，

∴△OPM是等腰直角三角形，

∴OM= OP= ，

∴QM= ﹣x，

由折叠的性质得：∠C=∠O=45°，CQ=OQ=x，

∴△CQM是等腰直角三角形，

∴QC= QM

∴x= （ ﹣x），

解得：x=2 ﹣2，

即OQ=2 ﹣2；

（ii）如图2所示：同（i）得：OQ=2 +2；

综上所述：当PC⊥QB时，OQ的长为2 ﹣2，或2 +2．

（2）

解：当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点Q共有5个；

①点C在∠AOB的内部时，四边形OPCQ是菱形，OQ=OP=2cm；

②当点C在∠AOB的一边上时，△OPQ是等腰直角三角形，OQ= 或2 ；

③当点C在∠AOB的外部时，分两种情况：

（i）如图3所示：PM=PQ，则∠PMQ=∠PQM=∠O+∠OPQ，

由折叠的性质得：∠OPQ=∠MPQ，

设∠OPQ=∠MPQ=x，

则∠PMQ=∠PQM=45°+x，

在△OPM中，由三角形内角和定理得：45°+x+x+45°+x=180°，

解得：x=30°，

∴∠OPQ=30°，

作QN⊥OP于N，设ON=a，

∵∠O=45°，

则QN=ON=a，OQ= a，PN= QN= a，

∵ON+PN=OP，

∴a+ a=2，

解得：a= ﹣1，

∴OQ= （ ﹣1）= ﹣ ；

（ii）如图4所示：PQ=MQ，作QN⊥OA于N，

同①得：OQ= + ；

综上所述：当折叠后重叠部分为等腰三角形时，OQ的长为2cm或（2 ﹣2，）cm或（2 +2）cm或（ ﹣ ）cm或（ + ）cm．

【解析】（1）①由平行线的性质得出∠O=∠CPA，由折叠的性质得出∠C=∠O，OP=CP，证出∠CPA=∠C，得出OP∥QC，证出四边形OPCQ是菱形，得出OQ=OP=2cm即可；
②当PC⊥QB时，分两种情况：设OQ=xcm，证出△OPM是等腰直角三角形，得出OM= OP= ，QM= ﹣x，证出△CQM是等腰直角三角形，得出QC= QM，得出方程x= （ ﹣x），解方程即可；（ii）同（i）得出：OQ=2 +2；即可得出结论；（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点Q共有5个；点C在∠AOB的内部或一边上时，由折叠的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的长；点C在∠AOB的外部时，同理求出OQ的长即可．