Question

正方形ABCD中，点P是AD上的一动点（与点D、点A不重合），DE⊥CP，垂足为E，EF⊥BE与DC交于点F．

小题1:求证：△DEF∽△CEB；
小题2:当点P运动到DA的中点时，求证：点F为DC的中点.

Answer 1

 
小题1:∵ DE⊥CP，EF⊥BE，
∴ ∠1+∠3=∠DEC=90°，∠2+∠3=∠FEB=90°，
∴ ∠1=∠2.                       ……………………………（2分）
∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠4+∠6=∠DCB=90°，
在Rt△DEC中，∠4+∠5=90°，
∴ ∠5=∠6，                     ……………………………（5分）
∴ △DEF∽△CEB.               ……………………………（6分）

小题2:∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 当点P运动到DA的中点时，PD=AD=DC.
∴ 在Rt△PDC中，tan∠4=，
∵ 在Rt△DEC中，tan∠4=，
∴ .               ……………………………（9分）
∵ △DEF∽△CEB，
∴ .               ……………………………（11分）
∵ CB=DC， 
∴
∴ 点F为DC的中点.            ……………………………（12分）
(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)

 略