Question

小题1:如图1，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边的中点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，延长BF交CD边于点G，则FG=DG，求出此时DG的值；

小题2:如图2，矩形ABCD中，AD>AB，AB=1，点E是AD边的中点，同样将△ABE沿BE翻折得到△FBE，延长BF交CD边于点G．

①证明：FG=DG；
②若点G恰是CD边的中点，求AD的值；
③若△ABE与△BCG相似，求AD的值．

Answer 1

 
小题1:解：设DG为x，
由题意得：BG=1+x，CG=1-x，
由勾股定理得：，
有：，
解得：．
∴DG=．              
小题2:①证明：连接EG，
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴AE=FE， ∠EFB=∠EAB=90°，
∴∠EFG=∠EDG=90°．
∵AE=DE，
∴FE=DE．
∵EG=EG，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG (HL) ．
∴DG=FG．                   ………………………………………………… 5分
②解：若G是CD的中点，则DG=CG=，
在Rt△BCG中，，
∴AD=．                   ……………………………………
③解：由题意AB∥CD，∴∠ABG=∠CGB．
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴∠ABE=∠FBE=∠ABG，∴∠ABE=∠CGB．
∴若△ABE与△BCG相似，则必有∠ABE=∠CBG==30°．
在Rt△ABE中，AE=ABtan∠ABE=，
∴AD="2" AE=．            …………………………………………………    10分

 略