题目内容
【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE、PF，设AE＝x（0＜x＜3）．
（1）填空：PC＝ ，FC＝ ；（用含x的代数式表示）
（2）求△PEF面积的最小值；
（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）PC=3﹣x，FC=x；（2）当x＝
时，△PEF面积的最小值为
；（3）PE⊥PF不成立理由见解析.
【解析】
（1）由矩形的性质可得AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO，可证△AEO≌△CFO，可得AE＝CF＝x，由DP＝AE＝x，可得PC＝3﹣x；
（2）由S△EFP＝S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，可得S△EFP＝x2﹣
x+6＝（x﹣）2+
，根据二次函数的性质可求△PEF面积的最小值；
（3）若PE⊥PF，则可证△DPE≌△CFP，可得DE＝CP，即3﹣x＝4﹣x，方程无解，则不存在x的值使PE⊥PF．
（1）∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO
∴∠DAC＝∠ACB，且AO＝CO，∠AOE＝∠COF
∴△AEO≌△CFO（ASA）
∴AE＝CF
∵AE＝x，且DP＝AE
∴DP＝x，CF＝x，DE＝4﹣x，
∴CP＝3﹣x，PC＝CD﹣DP＝3﹣x
故答案为：3﹣x，x
（2）∵S△EFP＝S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，
∴S△EFP＝
＝x2﹣x+6＝（x﹣）2+
∴当x＝时，△PEF面积的最小值为.
（3）不成立
理由如下：若PE⊥PF，则∠EPD+∠FPC＝90°
又∵∠EPD+∠DEP＝90°
∴∠DEP＝∠FPC，且CF＝DP＝AE，∠EDP＝∠PCF＝90°
∴△DPE≌△CFP（AAS）
∴DE＝CP
∴3﹣x＝4﹣x
则方程无解，
∴不存在x的值使PE⊥PF，
即PE⊥PF不成立．
