题目内容

【题目】如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.

(1)求证:△ABC≌△ADE;

(2)求∠FAE的度数;

(3)求证:CD=2BF+DE.

【答案】(1)证明见解析;(2)∠FAE=135°;(3)证明见解析.

【解析】

(1)根据已知条件易证∠BAC=∠DAE,再由AB=AD,AE=AC,根据SAS即可证得△ABC≌△ADE;(2)已知∠CAE=90°,AC=AE,根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°,由(1)知△BAC≌△DAE,根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°,再求得∠CAF=45°,∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数;(3)延长BFG,使得FG=FB,易证△AFB≌△AFG,根据全等三角形的性质可得AB=AG,∠ABF=∠G,再由△BAC≌△DAE,可得AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,所以AG=AD,∠ABF=∠CDA,即可得∠G=∠CDA,利用AAS证得△CGA≌△CDA,由全等三角形的性质可得CG=CD,所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF.

(1)∵∠BAD=∠CAE=90°,

∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,

∴∠BAC=∠DAE,

△BAC△DAE中,

∴△BAC≌△DAE(SAS);

(2)∵∠CAE=90°,AC=AE,

∴∠E=45°,

由(1)知△BAC≌△DAE,

∴∠BCA=∠E=45°,

∵AF⊥BC,

∴∠CFA=90°,

∴∠CAF=45°,

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°;

(3)延长BFG,使得FG=FB,

∵AF⊥BG,

∴∠AFG=∠AFB=90°,

△AFB△AFG中,

∴△AFB≌△AFG(SAS),

∴AB=AG,∠ABF=∠G,

∵△BAC≌△DAE,

∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,

∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,

∴∠G=∠CDA,

△CGA△CDA中,

∴△CGA≌△CDA,

∴CG=CD,

∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

∴CD=2BF+DE.

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