题目内容
【题目】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AD=2 ,∠DAC=30°,求AC的长.
【答案】
(1)
证明:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°,
在RT△DEB和RT△DFC中,
,
∴△DEB≌△DFC,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC
(2)
解:∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,
在RT△ADC中,∵∠ADC=90°,AD=2 ,∠DAC=30°,
∴AC=2CD,设CD=a,则AC=2a,
∵AC2=AD2+CD2,
∴4a2=a2+(2 )2,
∵a>0,
∴a=2,
∴AC=2a=4.
【解析】(1)先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明.(2)先证明AD⊥BC,再在RT△ADC中,利用30°角性质设CD=a,AC=2a,根据勾股定理列出方程即可解决问题.本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30°性质、勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形,记住直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半,属于中考常考题型.
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