题目内容

【题目】如图,在△ABC中,AD、CF分别是∠BAC、∠ACB的角平分线,且AD、CF交于点I,IE⊥BC与E,下列结论:①∠BIE=∠CID;②S△ABCIE(AB+BC+AC);③BE=(AB+BC-AC);④AC=AF+DC.其中正确的结论是( )

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

【答案】A

【解析】

①由IABC三条角平分线的交点,IEBCE,得到∠ABI=IBD,由于∠CID+ABI=90°,即∠CIE+DIE+IBD=90°,于是得到∠BIE=CID;即①成立;②由IABC三内角平分线的交点,得到点IABC三边的距离相等,根据三角形的面积即可得到即②成立;③如图过IIHABH,IGACG,有IABC三内角平分线的交点,得到IE=IH=IG,通过RtAHT≌△RtAGI,得到AH=AG,同理BE=BF,CE=CG,于是得到即③成立;④由③证得IH=IE,FHI=IED=90°,于是得到IHFDEI不一定全等,即④错误.

①∵IABC角平分线的交点,IEBCE,

∴∠ABI=IBD,

∵∠DIC=DAC+ACI=BAC+ACB),ABI=ABC,

∴∠CID+ABI=90°,

IEBCE,

∴∠BIE+IBE=90°,

∵∠ABI=IBE,

∴∠BIE=CID;

即①成立;

②∵IABC三内角平分线的交点,

∴点IABC三边的距离相等,

SABC=SABI+SBCI+SACI=ABIE+BCIE+ACIE=IE(AB+BC+AC),即②成立;

③如图过IIHABH,IGACG,

IABC三内角平分线的交点,

IE=IH=IG,

RtAHTRtAGI中,

RtAHT≌△RtAGI,

AH=AG

同理BE=BH,CE=CG,

BE+BH=AB+BC-AH-CE=AB+BC-AC,

BE=(AB+BC-AC);即③成立;

④由③证得IH=IE,

∵∠FHI=IED=90°,

∴△IHFDEI不一定全等,

HF不一定等于DE,

AC=AG+CG=AH+CE≠AF+CD,即④错误.

故选A.

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