Question

【题目】如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，垂足为E，点D在CA的延长线上，若∠DAB+
∠AOB=60°

（1）求∠AOB的度数；
（2）若AE=1，求BC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC，

∵OA⊥BC，OC=OB，

∴∠AOC=∠AOB，∠ACO=∠ABO，

∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB，∠ACO=∠OAB，

∴∠DAB=∠AOC，

∴∠DAB=∠AOB，又∠DAB+∠AOB=60°，

∴∠AOB=30°；

（2）解：∵∠AOB=30°，

∴BE= OB，

设⊙O的半径为r，则BE= r，OE=r﹣1，

由勾股定理得，r2=（ r）2+（r﹣1）2，

解得r=4 ，

∵OB=OC，∠BOC=2∠AOB=60°，

∴BC=r=4 ．

【解析】（1）连接OC，根据垂径定理和三角形的外角的性质证明∠DAB=∠AOB，求出∠AOB的度数；（2）根据直角三角形的性质得到BE= OB，设⊙O的半径为r，根据勾股定理求出r，根据等边三角形的性质得到答案．
【考点精析】掌握勾股定理的概念和圆周角定理是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．