Question

【题目】如图,已知Rt△OBA，∠ABO=30°，OA=2，两条直角边重叠在互相的垂直的两条直线上，线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在直线AO上运动,如果PQ=,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为____________.

Answer 1

【答案】8

【解析】

首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时，点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．

在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=2，∴AB=4，BO=

①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，

②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°

∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°∴AQ=4

∴OQ=4﹣2=2，,则点Q运动的路程为QO=2，

③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=4﹣，

④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=2，

∴点Q运动的总路程为：+2+4﹣+2=8．