Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、C在☉O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．

（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∵AD与⊙O相切于点A，

∴FA⊥AD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴FA⊥BC，

∵FA经过圆心O，

∴F是弧BC的中点，BE=CE，∠OEC=90°，

∴∠COF=2∠BAF．

∵∠PCB=2∠BAF，

∴∠PCB=∠COF，

∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，

∴∠OCE+∠PCB=90°．

∴OC⊥PC，

∵点C在⊙O上，

∴直线PC是⊙O的切线；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=2，

∴BE=CE=1，

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB= ，

∴AE= ，

设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r，

在Rt△OCE中，∠OEC=90°，

∴OC2=OE2+CE2，

∴r2=（3﹣r）2+1，

解得r= ，

∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．

∴△OCE∽△CPE，

∴ ．

∴ = ，

∴CP= ．

【解析】（1）连接OC，首先依据切线的性质可得到FA⊥AD，然后平行线的定义可得到AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是弧BC的中点，BE=CE，∠OEC=90°，然后结合条件∠PCB=2∠BAF，可得到∠OCE+∠PCB=90°，最后，再依据切线的判定定理进行证明即可；
（2）依据勾股定理可求得AE的长，设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3-r，在Rt△OCE中，依据勾股定理列出关于r的方程可求得r的值，接下来，再证明△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例可求得线段PC的长.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．