题目内容
【题目】△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想
如图1,当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系为: .
②BC,CD,CF之间的数量关系为:;(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展延伸
如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2 ,CD= BC,请求出GE的长.
【答案】
(1)垂直,BC=CF+CD
(2)解:CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.
∵正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB与△FAC中, ,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠ABD=∠ACF,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=45°.
∴∠ABD=180°﹣45°=135°,
∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°,
∴CF⊥BC.
∵CD=DB+BC,DB=CF,
∴CD=CF+BC.
(3)解:解:过A作AH⊥BC于H,过E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴BC= AB=4,AH= BC=2,
∴CD= BC=1,CH= BC=2,
∴DH=3,
由(2)证得BC⊥CF,CF=BD=5,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=DE,∠ADE=90°,
∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,
∴四边形CMEN是矩形,
∴NE=CM,EM=CN,
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°,
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠ADH=∠DEM,
在△ADH与△DEM中, ,
∴△ADH≌△DEM,
∴EM=DH=3,DM=AH=2,
∴CN=EM=3,EN=CM=3,
∵∠ABC=45°,
∴∠BGC=45°,
∴△BCG是等腰直角三角形,
∴CG=BC=4,
∴GN=1,
∴EG= = .
【解析】解:(1)①正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB与△FAC中, ,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠B=∠ACF,
∴∠ACB+∠ACF=90°,即BC⊥CF;
所以答案是:垂直;
②△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,
∵BC=BD+CD,
∴BC=CF+CD;
所以答案是:BC=CF+CD;
【考点精析】本题主要考查了旋转的性质的相关知识点,需要掌握①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了才能正确解答此题.