Question

【题目】如图，海中有一小岛P，在距小岛16 海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东45°，且A，P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，有无触礁的危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向改变航向，才能安全通过这一海域？

Answer 1

【答案】解：如图，过P作PC⊥AM于C，则∠PCA=90°，且PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离，

∵∠PAM=90°﹣45°=45°，

∴∠APC=45°=∠PAC，

∴PC=AC，

由勾股定理得：2PC2=AP2=322，

∴PC=16 ，

16 海里＜16 海里，

∴轮船继续向正东方向航行，有触礁的危险；

设A沿AD方向航行，正好没有触礁的危险，如图：

过P作PE⊥AD于E，则此时PE=16 海里，

在Rt△PAE中，sin∠PAE= ，

∴∠PAE=60°，

∠MAD=60°﹣45°=15°，

即轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行，才能安全通过这一海域．

【解析】过P作PC⊥AM垂足为C，则△PAC为等腰直角三角形，然后可求得PC的长，然后依据PC与暗礁半径的大小可做成判断，设A沿AD方向航行，正好没有触礁的危险，过P作PE⊥AD于E，则此时PE=16 海里，然后依据特殊锐角三角函数值可求得∠PAE的度数，最后依据∠MAD=∠PAD-∠PAM求解即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解特殊角的三角函数值的相关知识，掌握分母口诀：30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2，30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3，分子口诀：“123，321，三九二十七”．