题目内容
如图,在平面直角坐标系中,直线y=-
x+b(b>0)分别交x轴,y轴于A,B两点,以OA,OB为边作矩形OACB,D为BC的中点.以M(4,0),N(8,0)为斜边端点作等腰直角三角形PMN,点P在第一象限,设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S.
(1)求点P的坐标.
(2)若点P关于x轴的对称点为P′,试求经过M、N、P′三点的抛物线的解析式.
(3)当b值由小到大变化时,求S与b的函数关系式.
(4)若在直线y=-
x+b(b>0)上存在点Q,使∠OQM等于90°,请直接写出b的取值范围.
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(1)求点P的坐标.
(2)若点P关于x轴的对称点为P′,试求经过M、N、P′三点的抛物线的解析式.
(3)当b值由小到大变化时,求S与b的函数关系式.
(4)若在直线y=-
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(1)作PK⊥MN于K,则PK=KM=
NM=2.
∴KO=6,
∴P(6,2);
(2)∵点P关于x轴的对称点为P′,
∴P′点的坐标为:(6,-2),
∵M(4,0),N(8,0),
∴代入二次函数解析式得出:y=a(x-4)(x-8),
∴-2=a(6-4)(6-8),
∴a=
,
∴经过M、N、P′三点的抛物线的解析式为:y=
(x-4)(x-8);
(3)当0<b≤2时,如图,S=0.
当2<b≤3时,如图,
设AC交PM于H.AM=HA=2b-4.
∴S=
(2b-4)2.
即S=2(b-2)2或S=2b2-8b+8.
当3<b<4时,如图,
设AC交PN于H.NA=HA=8-2b.
∴S=-2(4-b)2+4或S=-2b2+16b-28.
当b≥4时,如图,
S=4.
(4)0<b≤
+1.(提示:以OM为直径作圆,当直线y=-
x+b(b>0)与此圆相切时,b=
+1.)
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∴KO=6,
∴P(6,2);
(2)∵点P关于x轴的对称点为P′,
∴P′点的坐标为:(6,-2),
∵M(4,0),N(8,0),
∴代入二次函数解析式得出:y=a(x-4)(x-8),
∴-2=a(6-4)(6-8),
∴a=
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∴经过M、N、P′三点的抛物线的解析式为:y=
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(3)当0<b≤2时,如图,S=0.
当2<b≤3时,如图,
设AC交PM于H.AM=HA=2b-4.
∴S=
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即S=2(b-2)2或S=2b2-8b+8.
当3<b<4时,如图,
设AC交PN于H.NA=HA=8-2b.
∴S=-2(4-b)2+4或S=-2b2+16b-28.
当b≥4时,如图,
S=4.
(4)0<b≤
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