Question

某隧道根据地质结构要求其横截面要建成抛物线拱形，计划路面水平宽度AB=12m，根据施工需要，选取AB的中点D为支撑点，搭一个正三角形支架ADC，C点在抛物线上（如图所示），过C竖一根立柱CO⊥AB于O．
（1）求立柱CO的长度；
（2）以O点为坐标原点，AB所在的直线为横坐标轴，自己画出平面直角坐标系，写出A、B、C三点的坐标（坐标轴上的一个长度单位为1m）；
（3）求经过A、B、C三点的抛物线方程；
（4）请帮助施工技术员计算该抛物线拱形的高．

Answer 1

（1）△ADC是边长为6的正三角形，CO是AD边上的高，
∴AO=OD=3，
CO²=

AC2-AO2

=

36-9

=3

3

（米）

（2）画出平面直角坐标系．
则A、（-3，0），B、（9，0），C、（0，3

3

）

（3）CO=3

3

，设抛物线方程为y=ax²+bx+3

3

把A（-3，0）、B（9，0）代入抛物线方程有

9a-3b+3 3 =0 81a+9b+3 3 =0

解得

a=- 3 9 b= 2 3 3

故y=-

3

9

x2+

2 3

3

x+3

3

（4）y=-

3

9

x2+

2 3

3

x+3

3

=-

3

9

(x2-6x-27)=-

3

9

(x-3)2+4

3

．
故y的最大值是4

3

，即该抛物线拱形的高是4

3

m．