Question

【题目】如图，在中，(圆心在内部)经过两点，交线段于点直径交于点点关于直线的对称点落在上．连结．

求证:．

在圆心的运动过程中，

若，求的长．

若点关于的对称点落在边上时，求的值．(直接写出答案)

令与边的另一个交点为，连结交于点若，垂足为点求证：．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②或；（3）证明见解析．

【解析】

（1）由对称的性质可得∠A＝∠BFD，结合∠BFD＝∠C，即可推出结论；

（2）①先证∠DFE为直角，设，再用含a的代数式分别将FE，DE，EC表示出来，根据列方程即可求出CE的长；

②分两种情况讨论，当点F关于AC的对称点落在BF边上时，连接DO，设FF'交AC于点M，证明BD＝BE，△BOD是等腰直角三角形，即可求出结果；当点F关于AC的对称点落在BE边上时，点F'与点O重合，证明△DOF为等边三角形，在Rt△DOE中，利用锐角三角函数即可求出结果；

（3）如图作辅助线，先证明△QBG≌△ECM，推出BQ＝CE，再证明DQ＝DP＝AD即可．

解：（1）点关于直线对称，

，

，

，

，

；

（2）①点关于直线对称，

，

，

，

，

是直径，

由圆的轴对称性可知：，

，

，

，

设，则，

，

，

解得：，

；

②如图1，当点F关于AC的对称点落在BF边上时，连接DO，设FF'交AC于点M，则AC垂直平分FF'，

由（1）知，∠A＝∠C＝45°，∠ABC＝90°，

∴BA＝BC，∠ABM＝∠CBM＝45°，

∵点A，F关于直线BD对称，

∴AD＝DF，AB＝FB，

又∵DB＝DB，

∴△ABD≌△FBD（SSS），

∴∠ABD＝∠FBD，

∵△BFE≌△BCE，

∴∠FBE＝∠CBE，

∴∠ABD＝∠FBD＝∠FBE＝∠CBE＝22.5°，

∴∠DBE＝∠DBF＋∠EBF＝45°，

∵OD＝OB，

∴∠OBD＝∠ODB＝45°，

∴∠DOB＝90°，

在△BDM与△BEM中，∠BDM＝∠BEM＝90°22.5°＝67.5°，

∴BD＝BE，

在等腰Rt△BOD中，设OB＝OD＝r，则BD＝，

∴BE＝，OE＝，

∴；

如图2，当点F关于AC的对称点落在BE边上时，

∵∠DF'E＝∠DFE＝90°，∠DOB＝90°，

∴点F'与点O重合，

连接OF，则OD＝OF＝DF，

∴△DOF为等边三角形，

∴∠ODF＝60°，

∴∠ODE＝∠FDE＝30°，

在Rt△DOE中，tan∠ODE＝＝tan30°＝，

∴，

综上所述，的值为或；

（3）连结；FC交于点，

，

∴PC是直径，

∵，

，

是等边三角形，

，

∵，，

，

，

，

，

，

∴，

，，，

，

，

．