Question

如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O

上，且AB=AD=AO.
小题1:（1）求证：BD是⊙O的切线.
小题2:（2）若点E是劣弧上一点，AE与BC相交于点F，且∠ABE=105°，

Answer 1

小题1:（1）证明：联结OB.
∵AB=AD=AO
∴∠DBA=∠D, ∠ABO=∠AOB
∵∠DBA+∠D+∠ABO+∠AOB=180°
∴∠DBA+∠ABO=90°
∴OB⊥BD，---------------------------1分
∵点B在⊙O
∴BD是⊙O的切线.---
小题2:（2）解：过点B作BH⊥AE于H.--------3分
∵AB=AO,AO=OB
∴AB=AO=OB
∴△ABO为等边三角形
∴∠AOB=60°，∵∠AOB=∠C
∴∠C=30°
∵BD是⊙O的切线
∴BD⊥OB,∴∠DBO=90°, ∴∠D=30°
∴OD="2OB," ∵DB=,∴OB=2，∴AB=2.
∵∠E=∠C
∴∠E=30°
∵∠ABE=105°
∴∠BAE=45°，∴∠ABH=∠BAE=45°
∴AH=BH
设AH=BH=x
∵在Rt△ABH中，sin∠BAH=.
∴BH=AB·sin45°=2×=,∴AH=--------4分
在Rt△ABH中,BE=2BH=
由勾股定理得：HE=
∴AE=+-

略