Question

【题目】如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为上一点（点P不与点B，C重合），连结AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，的值始终等于．则下列说法正确的是（　　）

A.①，②都对B.①对，②错C.①错，②对D.①，②都错

Answer 1

【答案】A

【解析】

作CM⊥AP于M，连接AD，根据线段垂直平分线的性质得到AO=AD，证明△AOD是等边三角形，求出∠D＝∠ABC＝60°，根据垂径定理得到CA＝CB，从而证得①；利用圆周角定理求出∠CPF＝60°，根据角平分线的性质得到CF=CM，证明Rt△CPF≌Rt△CPM得到PF=PM，证明Rt△AMC≌Rt△BFC得到AM＝BF，求出再根据三角函数求出得到②正确.

如图，作CM⊥AP于M，连接AD．

∵AE⊥OD，OE＝DE，

∴AO＝AD，

∵OA＝OD，

∴AO＝AD＝OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠D＝∠ABC＝60°，

∵CD⊥AB，

∴AE＝EB，

∴CA＝CB，

∴△ABC是等边三角形，故①正确，

∵∠CPA＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，

∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥PA，

∴CF＝CM，

∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，

∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），

∴PF＝PM，

∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，

∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），

∴AM＝BF，

∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，

∴，

在Rt△CPF中，

∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，

，

，

∴，故②正确，

故选：A.