题目内容
【题目】如图①已知正方形ABCD的边BC、CD上分别有E、F两点,且∠EAF=45°,现将△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABH处.
(1)线段EF、BE、DF有何数量关系?并说明理由;
模仿(1)中的方法解决(2)、(3)两个问题:
(2)如图②,若将E、F移至BD上,其余条件不变,且BE=,DF=3,求EF的长;
(3)如图③,图形变成矩形ABCD,∠EAF=45°,BE=3,AB=6,AD=10,求DF和EF的长.
【答案】(1) EF=BE+DF;(2) ;(3) ,.
【解析】试题分析:(1)由旋转的性质得:△ADF≌△ABH,从而可由SAS证△HAE≌△FAE,得到EF=HE,从而得到结论;
(2)把△ABE绕点A旋转90°到△ADG,连接GF.同(1)可得:△AGD≌△AEB,△AEF≌△AGF,得到BE=GD,∠GDA=∠EBA=45°,EF=GF,由∠FDA=45°,得到∠FDG=90°.在Rt△GDF中,由勾股定理即可得到结论;
(3)把△ADF绕A旋转90°到△AQH,连接EH,过E作EP⊥HQ 于P.同理得△ADF≌△AQH,△HAE≌△FAE,EF=HE.设DF=x.在Rt△HPE与Rt△ECF中,由勾股定理即可得出结论.
试题解析:解:(1)EF=BE+DF.理由如下:
由旋转的性质得:△ADF≌△ABH,∴AH=AF,DF=HB,∠HAB=∠DAF.∵∠DAF+∠FAB=90°,∴∠FAH=90°.∵∠EAF=45°,∴∠EAH=45°,∴∠EAF=∠EAH.在△EAF和△EAH中,∵AF=AH,∠EAF=∠HAE,AE=AE,∴△HAE≌△FAE(SAS),∴EF=HE.∵HE=HB+BE=DF+BE,∴EF=BE+DF;
(2)把△ABE绕点A旋转90°到△ADG,连接GF.同(1)可得:△AGD≌△AEB,△AEF≌△AGF,∴BE=GD,∠GDA=∠EBA=45°,EF=GF.∵∠FDA=45°,∴∠FDG=90°,∴EF=FG====;
(3)把△ADF绕A旋转90°到△AQH,连接EH,过E作EP⊥HQ 于P.
同理得△ADF≌△AQH,△HAE≌△FAE(SAS),∴EF=HE.
设DF=x.在Rt△HPE与Rt△ECF中,由勾股定理得:
,
∴ ;
解得: ,∴DF=,EF=.
【题目】市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛,对他们进行了六次测试,测试成绩如表(单位:环):
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | |
甲 | 10 | 8 | 9 | 8 | 10 | 9 |
乙 | 10 | 7 | 10 | 10 | 9 | 8 |
(1)根据表格中的数据,分别计算甲、乙的平均成绩;
(2)已知甲六次成绩的方差S甲2= ,试计算乙六次测试成绩的方差;根据(1)、(2)计算的结果,你认为推荐谁参加省比赛更合适,请说明理由.