题目内容
【题目】(本题满分10分)定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=3,MN=5,求BN的长;
(2)如图2,在Rt△ABC中,AC=BC,点M,N在斜边AB上,MCN=45,求证:点M,N是线段AB的勾股分割点.
【答案】(1)当MN最长时,BN=4;
当BN最长时,BN=;…………4分
如图,过点A作AD⊥AB,且AD=BN
证 △ADC≌△BNC,∴CD=CN,∠ACD=∠BCN,
再证:∠MCD=∠BCM,
证 △MDC≌△MNC,∴MD=MN
在Rt△MDA中,
∴
∴点M,N是线段AB的勾股分割点.…………10分
【解析】试题分析:(1)分两种切线利用勾股定理即可解决问题;
(2)如图,过点A作AD⊥AB,且AD=BN.只要证明△ADC≌△BNC,推出CD=CN,∠ACD=∠BCN,再证明△MDC≌△MNC,可得MD=MN,由此即可解决问题.
试题解析:(1)当MN最长时,BN==4;
当BN最长时,BN==;
(2)如图,过点A作AD⊥AB,且AD=BN,
∵AD=BN,∠DAC=∠B=45°,AC=BC,
∴△ADC≌△BNC,
∴CD=CN,∠ACD=∠BCN,
∵∠MCN=45°,
∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°,
∴∠MCD=∠BCM,
∴△MDC≌△MNC,
∴MD=MN,
在Rt△MDA中,AD2+AM2=DM2,
∴BN2+AM2=MN2,
∴点M,N是线段AB的勾股分割点。
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