Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，点M为BC边上一动点（点M与点B、C不重合），连接AM，过点M作MN⊥AM，垂足为M，MN交CD或CD的延长线于点N．

（1）求证：△CMN∽△BAM；
（2）设BM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式．当x取何值时，y有最大值，并求出y的最大值；
（3）当点M在BC上运动时，求使得下列两个条件都成立的b的取值范围：①点N始终在线段CD上，②点M在某一位置时，点N恰好与点D重合．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠BAM+∠AMB=90°．

∵MN⊥AM，即∠AMN=90°，

∴∠CMN+∠AMB=90°，

∴∠BAM=∠CMN，

∴△CMN∽△BAM；

（2）

∵△CMN∽△BAM，

∴．

∵BM=x，CN=y，AB=a，BC=AD=b，

∴，

∴y=（bx﹣x2）=（x2﹣bx）

=[（x﹣）2﹣]

=（x﹣）2+．

∵＜0，

∴当x=时，y取最大值，最大值为．

（3）

由题可知：

当0＜x＜b时，y的最大值为a，即=a，

解得：b=2a．

∴要同时满足两个条件，b的值为2a．

【解析】（1）由四边形ABCD是矩形可得∠B=∠C=90°，要证△CMN∽△BAM，只需证∠BAM=∠CMN即可；
（2）根据相似三角形的性质，由△CMN∽△BAM即可得到y与x的函数解析式，然后只需运用配方法就可求出y的最大值；
（3）由点M在BC上运动（点M与点B、C不重合），可得0＜x＜b，要满足条件①，应保证当0＜x＜b时，y≤a恒成立，要满足条件②，需存在一个x，使得y=a，综合条件①和②，当0＜x＜b时y最大值应为a，然后结合（2）中的结论，就可解决问题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的最值的相关知识，掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a，以及对矩形的性质的理解，了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．