Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，延长AC，BD交于点E．
（1）求∠E的度数；
（2）点M为BE上一点，且满足EMEB=CE2 ， 连接CM，求证：CM为⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C、D是半圆的三等分点，

∴ = = ，

连接OC、OD，如图1所示：

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，

∵OA=OC=OD=OB，

∴△AOC、△DOB为正三角形，

∴∠EAB=∠EBA=60°，

∴∠E=60°

（2）证明：连接BC，如图2所示：

∵EMEB=CE2，

∴ ，

∵∠E=∠E，

∴△CEM∽△BEC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ECB=90°，

∴∠EMC=∠ECB=90°，

∵∠AOC=∠DOB=60°，

∴OC∥BE，

∵∠EMC=90°，

∴∠OCM=90°，

∴OC⊥CM，

∴CM为⊙O的切线．

【解析】（1）由半圆的三等分点，得 = = ，连接OC、OD，则∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，证得△AOC、△DOB为正三角形，得出∠EAB=∠EBA=60°，即可得出结果；（2）连接BC，由 ，∠E=∠E，证得△CEM∽△BEC，由AB为⊙O的直径，得出∠ACB=90°，∠ECB=90°，由△CEM∽△BEC得出∠EMC=∠ECB=90°，由∠AOC=∠DOB=60°，证得OC∥BE，证得∠OCM=90°，即可得出结论．
【考点精析】本题主要考查了切线的判定定理和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．