题目内容

如图,正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确结论有(       )个.

A.5                   B.4              C.3                D.2
B.

试题分析:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,
∵△AEF是等边三角形,
∴AE=AF,
在Rt△ABE和Rt△ADF中,

∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),
∴BE=DF,
∴①说法正确;
∵BC=DC,
∴BC-BE=CD-DF,
∴CE=CF,
∴△ECF是等腰直角三角形,
∴∠CFE=45°
∴∠AFD=75°
∴∠DAF=15°
∴②正确;
∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠BCA=45°
∴AC⊥EF
又CE=CF
∴AC垂直平分EF,
∴③正确;
在AD上取一点G,连接FG,使AG=GF,

则∠DAF=∠GFA=15°,
∴∠DGF=2∠DAF=30°,
设DF=1,则AG=GF=2,DG=
∴AD=CD=2+,CF=CE=CD-DF=1+
∴EF=CF=+,而BE+DF=2,
∴④说法错误;
∵S△ABE+S△ADF=2S△ABE =2×AD×DF=2+
S△CEF=CE×CF=
∴⑤正确
故选B.
考点: 1.正方形的性质;2.全等三角形的判定与性质;3.等边三角形的性质.
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