Question

如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S_△CEF=2S_△ABE．其中正确结论有(       )个．

A．5                   B．4              C．3                D．2

Answer 1

B.

试题分析：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴①说法正确；
∵BC=DC，
∴BC-BE=CD-DF，
∴CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CFE=45°
∴∠AFD=75°
∴∠DAF=15°
∴②正确；
∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BCA=45°
∴AC⊥EF
又CE=CF
∴AC垂直平分EF，
∴③正确；
在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF，

则∠DAF=∠GFA=15°，
∴∠DGF=2∠DAF=30°，
设DF=1，则AG=GF=2，DG=，
∴AD=CD=2+，CF=CE=CD-DF=1+，
∴EF=CF=+，而BE+DF=2，
∴④说法错误；
∵S_△ABE+S_△ADF=2S_△ABE =2×AD×DF=2+，
S_△CEF=CE×CF=，
∴⑤正确
故选B.
考点: 1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等边三角形的性质．