Question

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.

（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由.

Answer 1

（1）2  （2）不会改变，理由见解析

解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠BQD＝30°，
∴∠QPC＝90°，
设AP＝x，则PC＝6－x，QB＝x，
∴QC＝QB＋BC＝6＋x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝QC，即6－x＝（6＋x），解得x＝2；
（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.理由如下：
作QF⊥AB，交AB的延长线于点F，连接QE，PF，

又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，
∵点P、Q做匀速运动且速度相同，
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，
∴在△APE和△BQF中，
∵∠A＝∠FBQ，∠AEP＝∠BFQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQF，
∴
∴△APE≌△BQF，
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE＝EF，
∵EB＋AE＝BE＋BF＝AB，
∴DE＝AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE＝3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.