Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+c(a≠0)与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B.直线与x轴，y轴分别交于点C，D.

（1）求抛物线的对称轴.

（2）若点A与点D关于x轴对称.

①求点B的坐标.

②若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）x=2；（2）点B坐标为（2，3）；②a>0或a≤.

【解析】

（1）根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴方程为x=即可的答案；

（2）①根据直线与x轴，y轴分别交于点C，D可得C、D两点坐标，根据关于x轴对称的点的坐标特征可得A点坐标，根据平移性质即可得B点坐标；

②分a>0与a<0两种情况，结合图象，根据二次函数的性质即可得答案.

（1）∵抛物线的解析式为y=ax2-4ax+c(a≠0)，

∴抛物线的对称轴为x==2，

（2）①∵直线解析式为，

∴x=0时，y=-3，y=0时，x=5，

∴C点坐标为（5，0），D点坐标为（0，-3），

∵点A于点D关于x轴对称，

∴点A坐标为（0，3），

∵将点A向右平移2个单位长度，得到点B，

∴点B坐标为（2，3）.

②如图，当a>0时，抛物线开口向上，

∵点A（0，3），对称轴为x=2，

∴抛物线经过点A关于x=2的对称点（4，3），

∴抛物线与线段BC都有交点，

当a<0时，抛物线的开口向下，

∵点A（0，3），

∴c=3，

∴抛物线解析式为y=ax2-4ax+3，

当x=5时，25a-20a+3=0，

解得：a=，

∵越大，抛物线的开口越小，

∴a≤.

综上所述：a的取值范围为a>0或a≤.