题目内容
【题目】如图1，已知抛物线y＝
（x+1）（x﹣3）（m为常数，且m＞0）经过点c（0，﹣
），与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧）．
（1）请直接写出m的值及点A、点B的坐标；
（2）请你探究：在直线BC上是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出AP的长；若不存在，说明理由．
（3）如图2，点D（2，﹣），连接AD，抛物线上是否存在点Q，使∠BAQ＝2∠BAD，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m＝
，A（﹣1，0），B（3，0）；（2）存在，AP的长为2或
；（3）存在，点Q的坐标为（0，﹣）或（6，7）．
【解析】
（1）将点C的坐标代入解析式y＝
（x+1）（x﹣3）即可求出m的值，令y＝0，即可求出A，B的横坐标；
（2）分情况讨论，当以点P为直角顶点时，证△ABC为直角三角形，且与△BOC相似，所以点P与点C重合；当以点A为直角顶点时，过点A作x轴的垂线，交BC于点P，由相似的性质求出AP的长度即可；当以点B为直角顶点时，不存在；
（3）分情况讨论，先求出∠BAD＝30°，当点Q在x轴下方时，求出∠BAC＝60°，则点Q与点C重合；当点Q在x轴上方时，作点C关于x轴的对称点E，直线AE与抛物线在x轴上方的交点即为点Q．
（1）将点C（0，﹣）代入y＝（x+1）（x﹣3），
得，m＝，
∴抛物线解析式为：y＝
（x+1）（x﹣3）＝x2﹣
x﹣，
当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）存在点P，理由如下：
①在抛物线y＝x2﹣x﹣中，
当x＝0时，y＝﹣，
∴C（0，﹣），OC＝，
∴AC2＝AO2+CO2＝4，BC2＝BO2+CO2＝12，
又∵AB2＝42＝16，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝∠COB＝90°，
又∵∠OBC＝∠CBA，
∴△BOC∽△BCA，
即点P与点C重合，
∴AP＝AC＝
＝2；
②过点A作AP⊥x轴，交直线BC于点P，
则AP∥OC，
∴△BAP∽△BOC，
∴
，
∴
，
∴AP＝，
综上所述，AP的长为2或；
（3）存在点Q，理由如下：
如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，
则H（2，0），
①当点Q在x轴下方时，
DH＝，AH＝3，
∴在Rt△AHD中，
tan∠BAD＝
，
∴∠BAD＝30°，
在Rt△AOC中，
tan∠BAC＝
＝，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∴点Q与点C重合，
∴Q1（0，﹣）；
②当点Q在x轴上方时，
作点C关于x轴的对称点E（0，），
则∠EAB＝∠CAB＝60°＝2∠BAD，
则直线AE与抛物线在x轴上方的交点即为点Q，
设直线AE的解析式为y＝kx+，
将点A（﹣1，0）代入，得
k＝，
∴yAE＝x+，
联立，得x+＝x2﹣ x﹣，
解得，x1＝﹣1，x2＝6，
∴Q2（6，7），
综上所述，点Q的坐标为（0，﹣）或（6，7）．
