Question

【题目】已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．
（1）求证：BE=DG；
（2）若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD．

∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．

∴CG⊥AD．

∴∠AEB=∠CGD=90°．

∵AE=CG，

∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL）．

∴BE=DG；

（2）解：当BC= AB时，四边形ABFG是菱形．

证明：∵AB∥GF，AG∥BF，

∴四边形ABFG是平行四边形．

∵Rt△ABE中，∠B=60°，

∴∠BAE=30°，

∵BC= AB

∴BE=CF

∴EF= AB

∴AB=BF

∴四边形ABFG是菱形

【解析】（1）根据平移的性质，可得：BE=FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：BE=DG；（2）要使四边形ABFG是菱形，须使AB=BF；根据条件找到满足AB=BF的AB与BC满足的数量关系即可．
【考点精析】利用平行四边形的性质和菱形的判定方法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．