题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+ 
与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称
（1）填空：点B的坐标是；
（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．
【答案】
（1）（0， 
）
（2）
解：∵B点坐标为（0， ），
∴直线解析式为y=kx+ ，令y=0可得kx+ =0，解得x=﹣ 
，
∴OC=﹣ ，
∵PB=PC，
∴点P只能在x轴上方，
如图1，过B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，
则BD=OC=﹣ ，CD=OB= ，
∴PD=PC﹣CD=m﹣ ，
在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，
即m2=（m﹣ ）2+（﹣ ）2，解得m= 
+ 
，
∴PC= + ，
∴P点坐标为（﹣ ， + ），
当x=﹣ 时，代入抛物线解析式可得y= + ，
∴点P在抛物线上；
（3）
解：如图2，连接CC′，
∵l∥y轴，
∴∠OBC=∠PCB，
又PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC，
∴∠PBC=∠OBC，
又C、C′关于BP对称，且C′在抛物线的对称轴上，即在y轴上，
∴∠PBC=∠PBC′，
∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，
在Rt△OBC中，OB= ，则BC=1
∴OC= 
，即P点的横坐标为 ，代入抛物线解析式可得y=（ ）2+ =1，
∴P点坐标为（ ，1）．
【解析】解：（1）∵抛物线y=x2+ 与y轴相交于点A，
∴A（0， ），
∵点B与点O关于点A对称，
∴BA=OA= ，
∴OB= ，即B点坐标为（0， ），
故答案为：（0， ）；
（1）由抛物线解析式可求得A点坐标，再利用对称可求得B点坐标；（2）可先用k表示出C点坐标，过B作BD⊥l于点D，条件可知P点在x轴上方，设P点纵坐标为y，可表示出PD、PB的长，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，则可求出PB的长，此时可得出P点坐标，代入抛物线解析式可判断P点在抛物线上；（3）利用平行线和轴对称的性质可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，则可求得OC的长，代入抛物线解析式可求得P点坐标．
