Question

【题目】规定：有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形．

（1）问题联想

如图①，嵌套四边形ABCD，AMPN都是正方形，现把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，连接BM'，DN'交于点O，则BM'与DN'的数量关系为_____，位置关系为_____；

（2）类比探究

如图②，将（1）中的正方形换成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗? 若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；

（3）拓展延伸

如图3，将（1）中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2:1的矩形，旋转角换成α（90°＜α＜180°），其他条件不变，请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系．

Answer 1

【答案】（1），；（2）成立，不成立，与相交，且夹角为.理由见解析；（3），.

【解析】

（1）根据SAS证明△ABM’≌△AND’，进而得到，∠ABM’=∠ADN’，再利用三角形内角和可推出∠BOD=90°，即；

（2）根据旋转和菱形的性质证明，再推出，故可求解；

（3）根据旋转和矩形的性质证明，得到，再推出即可求解．

（1）如图设，交于点H，，

∵四边形ABCD，AMPN都是正方形，把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，

∴AB=AD,AM’=AD’,

∴△ABM’≌△AND’，

∴，∠ABM’=∠ADN’，

∵∠ADN’+∠DHA+∠DAH=180°，∠ABM’+∠BHO+∠BOD=180°，

又∠DHA=∠BHO

∴，即

故答案为：，；

（2）成立，不成立，与相交，且夹角为.

理由：设，交于点，

由旋转的性质可得.

∵四边形，都是菱形，

∴，，

∴，

∴，.

又∵，

∴；

故与相交，且夹角为；

（3），，理由如下：

设，交于点，

由旋转的性质可得.

∵四边形ABCD和AMPN是长和宽之比为2:1的矩形

∴，，

∴

∴，

∴，.

又∵，

∴

∴，．