Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+a交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的横坐标为﹣2．

（1）求抛物线的对称轴和函数表达式．

（2）连结BC线段，BC上有一点D，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F，若EF＝6，求点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+6；对称轴为x=2；（2）点D的坐标为（2.5，1.5）．

【解析】

（1）将点A的坐标代入函数的解析式求得a的值后即可确定二次的解析式，代入对称轴公式即可求得对称轴；

（2）首先根据点A的坐标和对称轴求得点B的坐标，然后求得直线BC的解析式，从而设出点D的坐标并表示出点EF的坐标，表示出EF的长后根据EF＝6求解即可．

解：如图：

（1）∵A点的横坐标为﹣2，

∴A（﹣2，0），

∵点A 在抛物线y＝﹣x2+2x+a上，

∴﹣2﹣4+a＝0，

解得：a＝6，

∴函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+6，

∴对称轴为x＝﹣＝﹣＝2；

（2）∵A（﹣2，0），对称轴为x＝2，

∴点B的坐标为（6，0），

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，

∵点D在BC上，

∴设点D的坐标为（m，﹣m+6），

∴点E和点F的纵坐标为﹣m+6，

∴y＝﹣x2+2x+6＝﹣m+6，

解得：x＝2±，

∴EF＝2+﹣（2﹣）＝2，

∵EF＝6，

∴2＝6，

解得：m＝2.5，

∴点D的坐标为（2.5，1.5）．