Question

【题目】已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，连接FO，

∵F为BC的中点，AO=CO，

∴OF∥AB，

∵AC是⊙O的直径，

∴CE⊥AE，

∵OF∥AB，

∴OF⊥CE，

∴OF所在直线垂直平分CE，

∴FC=FE，OE=OC，

∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，

∵∠ACB=90°，

即：∠0CE+∠FCE=90°，

∴∠0EC+∠FEC=90°，

即：∠FEO=90°，

∴FE为⊙O的切线；

（2）解：如图2，

∵⊙O的半径为3，

∴AO=CO=EO=3，

∵∠EAC=60°，OA=OE，

∴∠EOA=60°，

∴∠COD=∠EOA=60°，

∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，

∴CD= ，

∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，

CD= ，AC=6，

∴AD= ．

【解析】（1）连接FO，由F为BC的中点，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论（2）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果．