Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．

（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴ ，解得， ，

∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：如图1，连接PC、PE，

x=﹣ =﹣ =1，

当x=1时，y=4，

∴点D的坐标为（1，4），

设直线BD的解析式为：y=mx+n，

则 ，解得， ，

∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，

设点P的坐标为（x，﹣2x+6），

则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

∵PC=PE，

∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

解得，x=2，

则y=﹣2×2+6=2，

∴点P的坐标为（2，2）；

（3）

解：设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），

∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，

∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，

当2﹣a=﹣a2+2a+3时，

整理得，a2﹣3a﹣1=0，

解得，a= ，

当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时，

整理得，a2﹣a﹣5=0，

解得，a= ，

∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（ ，0），（ ，0），（ ，0），（ ，0）．

【解析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2 ， 根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标；（3）设点M的坐标为（a，0），表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．