题目内容

【题目】如图,抛物线经过A﹣10),B50),C0)三点.

1)求抛物线的解析式;

2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;

3)点Mx轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以ACMN四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+ca≠0),

∵A﹣10),B50),C0)三点在抛物线上,

,解得

抛物线的解析式为:

2其对称轴为直线x=2

连接BC,如图1所示,

∵B50),C0),

设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0),

,解得:

直线BC的解析式为

x=2时,

∴P2)。

3)存在。

如图2所示,

当点Nx轴下方时,

抛物线的对称轴为直线x=2C0),

∴N14)。

当点Nx轴上方时,

如图2,过点NND⊥x轴于点D

△AND△MCO中,

∴△AND≌△MCOASA)。

∴ND=OC=,即N点的纵坐标为

,解得

∴N2),N3).

综上所述,符合条件的点N的坐标为(4),()或(

【解析】

试题本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识,在解答(3)时要注意进行分类讨论.(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+ca≠0),再把A﹣10),B50),C0)三点代入求出abc的值即可;(2)因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为(50),连接BC交对称轴直线于点P,求出P点坐标即可;(3)分点Nx轴下方或上方两种情况进行讨论.

试题解析:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+ca≠0),∵A﹣10),B50),C0)三点在抛物线上,,解得抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣

2抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣其对称轴为直线x=﹣=﹣=2,连接BC,如图1所示,

∵B50),C0),设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0),,解得直线BC的解析式为y=x﹣,当x=2时,y=1﹣=﹣∴P2);

3)存在.如图2所示,

当点Nx轴下方时,抛物线的对称轴为直线x=2C0),∴N14);

当点Nx轴上方时,如图2,过点N2N2D⊥x轴于点D,在△AN2D△M2CO中,

∴△AN2D≌△M2COASA),∴N2D=OC=,即N2点的纵坐标为x2﹣2x﹣=

解得x=2+x=2﹣∴N22+),N32﹣).综上所述,符合条件的点N的坐标为N14),N22+)或N32﹣).

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