Question

（本题10分）如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10．
(1)求BC的长；
(2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D方向向点D运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D方向向点D运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点D作DE⊥BC于点E
∵四边形ABCD是直角梯形      ∴四边形ABED是矩形
∴AD=BE=2，AB=DE=8…………………（1分）
在Rt△DEC中，CE==="6" …………………（2分）
∴BC ="8." …………………（3分）
（2）（i）当0≤t≤8时，过点Q      作QG⊥AB于点G，过点Q作QF⊥CB于点F。
∵BP=t，CQ=t，      ∴AP=8－t，DQ=10－t，…………（4分）
∵DE⊥BC，QF⊥CB
∴△CQF∽△CDE
∴
∴     ∴CF=，QF=，
∴PG==，QG=8－
∴=（8－t）2+22=t2+16t+68，
∴PQ2=QG2+PG2=（8－）2+（）2=
若DQ=PD，则（10－t）2= t2+16t+68，解得：t=8；………………（6分）
若DQ=PQ，则（10－t）2=，
解得：t1=，t2=＞8（舍去），
此时t=；             ………………（8分）
（ii）当8＜t＜10时，PD=DQ=10－t，
∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；………………（9分）
而当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形；…………（10分）
综上,当t=或8≤t＜10时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形.                                

略