题目内容
(本题10分)如图直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC ,AD=2,AB=8,CD=10.
(1)求BC的长;
(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度沿B→A→D方向向点D运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿C→D方向向点D运动;过点Q作QF⊥BC于点F.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达终点时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.

(1)求BC的长;
(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度沿B→A→D方向向点D运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿C→D方向向点D运动;过点Q作QF⊥BC于点F.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达终点时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)过点D作DE⊥BC于点E
∵四边形ABCD是直角梯形 ∴四边形ABED是矩形
∴AD=BE=2,AB=DE=8…………………(1分)
在Rt△DEC中,CE=
=
="6" …………………(2分)
∴BC ="8." …………………(3分)
(2)(i)当0≤t≤8时,过点Q 作QG⊥AB于点G,过点Q作QF⊥CB于点F。
∵BP=t,CQ=t, ∴AP=8-t,DQ=10-t,…………(4分)
∵DE⊥BC,QF⊥CB
∴△CQF∽△CDE
∴
∴
∴CF=
,QF=
,
∴PG=
=
,QG=8-
∴
=(8-t)2+22=t2+16t+68,
∴PQ2=QG2+PG2=(8-
)2+(
)2=
若DQ=PD,则(10-t)2= t2+16t+68,解得:t=8;………………(6分)
若DQ=PQ,则(10-t)2=
,
解得:t1=
,t2=
>8(舍去),
此时t=
; ………………(8分)
(ii)当8<t<10时,PD=DQ=10-t,
∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立;………………(9分)
而当t=10时,点P、D、Q三点重合,无法构成三角形;…………(10分)
综上,当t=
或8≤t<10时,以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形.
∵四边形ABCD是直角梯形 ∴四边形ABED是矩形
∴AD=BE=2,AB=DE=8…………………(1分)
在Rt△DEC中,CE=


∴BC ="8." …………………(3分)
(2)(i)当0≤t≤8时,过点Q 作QG⊥AB于点G,过点Q作QF⊥CB于点F。
∵BP=t,CQ=t, ∴AP=8-t,DQ=10-t,…………(4分)

∴△CQF∽△CDE
∴

∴



∴PG=



∴

∴PQ2=QG2+PG2=(8-



若DQ=PD,则(10-t)2= t2+16t+68,解得:t=8;………………(6分)
若DQ=PQ,则(10-t)2=

解得:t1=


此时t=

(ii)当8<t<10时,PD=DQ=10-t,
∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立;………………(9分)
而当t=10时,点P、D、Q三点重合,无法构成三角形;…………(10分)
综上,当t=

略

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