题目内容
【题目】在直角坐标系中， 放置一副三角板 ABO(OAB 90 ，OBA AOB 45 ，OA AB) ， BO 边与 x 轴重合，其中一个45角的顶点在原点O ，直角顶点 A 在第一象限内．
（1）将另一个三角板 DEF 如图 1 放置， EDF 90 ，直角顶点 D 置于 AO 边上（不与O 重合），此时， DE 交 y 轴于 M 点， DF 交 x 轴于 N 点，求证：DM DN ．
（2）如图 2， D 是线段 AB 上一动点，连接OD ，过O 作OE OD ，取点 E 满足OE OD ．连接 EB 交OA 于点 P ，探究
的值是否为定值，若是定值，求出其值；若不是定值，说明理由．
（3）如图 3，直线a 经过原点且与 y 轴成22.5角，Q 是 x 轴上方直线a 上一动点，连接 AQ 、 BQ ，请比较OB OA 与QA QB 的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）详见解析.(2)
的值是定值，其值为
，理由详见解析；（3）AQ BQ OA OB ，理由详见解析.
【解析】
（1）先判断出∠IDM=∠KDN，得出DI=DK，进而得出△DIM≌△DKN，即可得出结论；
（2）先表示出点A，B坐标，进而得出直线OA，AB的解析式，即可得出ON，DN，BD，再判断出△OME≌△DNO，得出OM=DN=-n+2m，EM=ON=n，进而得出直线BE解析式，即可求出点A坐标，进而得出AP，即可得出结论；
（3）先判断出OQ是AA'的垂直平分线，进而得出A'Q=AQ，最后用三角形的三边关系即可得出结论．
(1)如图1,
过点D作DI⊥y轴于I，DK⊥x轴于K，
∴四边形OIDK是矩形，
∴∠IDK=90，
∵∠EDF=90，
∴∠IDM=∠KDN
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴直线OA的解析式为y=x，
∴DI=DK，
在△DIM和△DKN中,
∴△DIM≌△DKN，
∴DM=DN；
(2)的值是定值,其值为：，
理由：如图2,
过点A作AG⊥OB于G，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OG=BG=AG，
设OG=BG=AG=m，
∴OB=2m，
∴A(m,m),B(2m,0)，
∴直线OA的解析式为y=x①，直线OB的解析式为y=x+2m，
设D(n,n+2m)
过点D作DN⊥OB于N，
∴ON=n，DN=n+2m，
∴
过点E作EM⊥OB于M，
∴∠OME=90=∠DNO，
∴∠OEM+∠EOM=90，
∵OD⊥OE，
∴∠DOE=90，
∴∠EOM+∠DON=90，
∴∠OEM=∠DON，
∵OM=OD，
∴△OME≌△DNO，
∴OM=DN=n+2m，EM=ON=n，
∴E(n2m,n)，
∵B(2m,0)，
∴直线BE的解析式为
②/span>，
联立①②解得,
∴
∵A(m,m)，
∴
∴
(3)AQ+BQ>OA+OB,理由：如图3,
在x轴的负半轴上取一点A′，使OA′=OA，连接QA′，AA′，
∵直线a经过原点且与y轴成22.5角，
∴∠AOQ=45+22.5=67.5，
∴∠A′OQ′=180∠AOQ∠AOB=67.5=∠AOQ，
∴OQ⊥AA′，
∴AQ是AA′的垂直平分线，
∴AQ=A′Q，在△A′BQ中，A′Q+BQ>A′B，
∵A′B=OA′+OB=OA+OB，
∴AQ+BQ>OA+OB.
