题目内容

【题目】如图(1),已知抛物线E:y=ax2+bx+cx轴交于A,B(3,0)两点(AB的左侧),与y轴交于点C(0,3),对称轴为直线x=1.

(1)填空:a=   ,b=   ,c=   

(2)将抛物线E向下平移d个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在OBC内(包括OBC的边界),求d的取值范围;

(3)如图(2),设点P是抛物线E上任意一点,点H在直线x=﹣3上,PBH能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若能,请求出符合条件的点P的坐标;若不能,请说明理由.

【答案】(1)﹣1,2,3;(2)d的范围为2d4;(3)P(1,4)或(0,3)或()或(

【解析】

(1)先确定出点A坐标,最后用待定系数法即可得出结论;

(2)先求出直线BC解析式,再确定出顶点坐标(1,4),最后根据平移即可得出结论;

(3)分两种情况,利用全等三角形的对应边相等,建立方程求解即可得出结论.

(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,B(3,0),

A(﹣1,0),

∵点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)在抛物线上,

故答案为:﹣1,2,3;

(2)B(3,0),C(0,3),

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,

a=﹣1,b=2,c=3,

∴抛物线y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴抛物线E的顶点坐标为(1,4),

∵对于直线y=﹣x+3,

x=1时,y=2,

∵抛物线E向下平移d个单位,

∴当d=2时,抛物线的顶点落在BC上,

d=4时,抛物线的顶点落在OB上,

d的范围为2≤d≤4;

(3)设P(m,﹣m2+2m+3),H(﹣3,n),

①当点Px轴上方时,如图(2),过点PPE⊥直线x=﹣3E,过点BBFEPEP的延长线于F,

B(3,0),PBH是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,

∴∠BPH=90°,BP=PH,

∴∠EPH=FBP,

∴△PHE≌△BPE,

PE=BF,

PE=BF=﹣m2+2m+3,PF=3﹣m,且PE=PF=6,

﹣m2+2m+3+3﹣m=6,

m=1m=0,

P(1,4)或(0,3);

②当点Px轴下方时,如图(1),

过点PPG⊥直线x=﹣3G,过点BBKGPGP的延长线于K,

易知,PHG≌△BPK,

PG=BK,

PG=6﹣(3﹣m)=m+3,BK=m2﹣2m﹣3,

m+3=m2﹣2m﹣3,

.

即:P(1,4)或(0,3)或

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