题目内容
【题目】如图(1),已知抛物线E:y=ax2+bx+c与x轴交于A,B(3,0)两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,3),对称轴为直线x=1.
(1)填空:a= ,b= ,c= ;
(2)将抛物线E向下平移d个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界),求d的取值范围;
(3)如图(2),设点P是抛物线E上任意一点,点H在直线x=﹣3上,△PBH能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若能,请求出符合条件的点P的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1)﹣1,2,3;(2)d的范围为2≤d≤4;(3)P(1,4)或(0,3)或()或(
)
【解析】
(1)先确定出点A坐标,最后用待定系数法即可得出结论;
(2)先求出直线BC解析式,再确定出顶点坐标(1,4),最后根据平移即可得出结论;
(3)分两种情况,利用全等三角形的对应边相等,建立方程求解即可得出结论.
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,B(3,0),
∴A(﹣1,0),
∵点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)在抛物线上,
∴
故答案为:﹣1,2,3;
(2)∵B(3,0),C(0,3),
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,
∵a=﹣1,b=2,c=3,
∴抛物线y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴抛物线E的顶点坐标为(1,4),
∵对于直线y=﹣x+3,
当x=1时,y=2,
∵抛物线E向下平移d个单位,
∴当d=2时,抛物线的顶点落在BC上,
当d=4时,抛物线的顶点落在OB上,
∴d的范围为2≤d≤4;
(3)设P(m,﹣m2+2m+3),H(﹣3,n),
①当点P在x轴上方时,如图(2),过点P作PE⊥直线x=﹣3于E,过点B作BF⊥EP交EP的延长线于F,
∵B(3,0),△PBH是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,
∴∠BPH=90°,BP=PH,
∴∠EPH=∠FBP,
∴△PHE≌△BPE,
∴PE=BF,
∵PE=BF=﹣m2+2m+3,PF=3﹣m,且PE=PF=6,
∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6,
∴m=1或m=0,
∴P(1,4)或(0,3);
②当点P在x轴下方时,如图(1),
过点P作PG⊥直线x=﹣3于G,过点B作BK⊥GP交GP的延长线于K,
易知,△PHG≌△BPK,
∴PG=BK,
∴PG=6﹣(3﹣m)=m+3,BK=m2﹣2m﹣3,
∴m+3=m2﹣2m﹣3,
∴
∴或
.
即:P(1,4)或(0,3)或或
