Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B.

（1）求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式.

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？求P坐标及最大面积是多少？

（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出M的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋4x＋5,（2）,P（,）;（3）M1(3，8),M2(1，8).

【解析】

（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；

（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，x2＋4x＋5），建立函数关系式S四边形APCD＝2x2＋10x，根据二次函数求出极值；

（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M的坐标．

（1）设抛物线解析式为y＝a（x2）2＋9，

∵抛物线与y轴交于点A（0，5），

∴4a＋9＝5，

∴a＝1，

y＝（x2）2＋9＝x2＋4x＋5，

（2）当y＝0时，x2＋4x＋5＝0，

∴x1＝1，x2＝5，

∴E（1，0），B（5，0），

设直线AB的解析式为y＝mx＋n，

∵A（0，5），B（5，0），

∴m＝1，n＝5，

∴直线AB的解析式为y＝x＋5；

设P（x，x2＋4x＋5），

∴D（x，x＋5），

∴PD＝x2＋4x＋5＋x5＝x2＋5x，

∵AC＝4，

∴S四边形APCD＝×AC×PD＝2（x2＋5x）＝2x2＋10x，

∴当x＝时，S=，

∴即：点P（，）时，S四边形APCD最大＝，

（3）如图，

过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，

∵MN∥AE，MN＝AE，

∴△HMN≌△AOE

∴HM＝OE＝1，

∴M点的横坐标为x＝3或x＝1，

当x＝1时，M点纵坐标为8，

当x＝3时，M点纵坐标为8，

∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），