Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2 cm/s 的速度沿折线C→A→B向点B运动，同时点E从点B出发，以1 cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t （单位：s）（0＜t＜8）.

(1) 当△BDE 是直角三角形时，求t的值；

(2)若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，①设它的面积为S，求S关于t的函数关系式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形CDEF为菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）当△BDE是直角三角形时,或；（2）①当时,,

当时, ；②存在, 即当时,□CDEF为菱形.

【解析】

（2）当△BDE是直角三角形时，∠B不可能为直角，所以分两种情况讨论：i）图1，当∠BED=90°时；ii）图2，当∠EDB=90°时；利用相似求边，再利用同角三角函数值列等式计算求出t的值；

（3）①根据点D的位置分两种情况讨论：点D在边AC上时，0＜t≤3；点D在边AB上时，3＜t＜8；CDEF的面积都等于△CDE面积的二倍；

②当CDEF为菱形，对角线CE和DF互相垂直且平分，利用BH=BE+EH列式计算．

（1）如图1，当∠BED=90°时，△BDE是直角三角形，

则BE=t，AC+AD=2t，

∴BD=6+10-2t=16-2t，

∵∠BED=∠C=90°，

∴DE∥AC，

∴，

∴，

∴DE=，

∵sinB=，

∴，

t=；

如图2，当∠EDB=90°时，△BDE是直角三角形，

则BE=t，BD=16-2t，

cosB=，

∴，

∴t=；

答：当△BDE是直角三角形时，t的值为或；

（3）①如图3，当0＜t≤3时，BE=t，CD=2t，CE=8-t，

∴SCDEF=2S△CDE=2××2t×（8-t）=-2t2+16t，

如图4，当3＜t＜8时，BE=t，CE=8-t，过D作DH⊥BC，垂足为H，

∴DH∥AC，

∴，

∴，

∴DH=，

∴SCDEF=2S△CDE=2××CE×DH=CE×DH=（8-t）×=t2t+；

∴S于t的函数关系式为：当0＜t≤3时，S=-2t2+16t，

当3＜t＜8时，S=t2t+；

②存在，如图5，当CDEF为菱形时，DH⊥CE，

由CD=DE得：CH=HE，

BH=，BE=t，EH=，

∴BH=BE+EH，

∴=t+，

∴t=，

即当t=时，CDEF为菱形．