Question

【题目】如图，抛物线y＝x2﹣3x+4与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C．

（1）A点坐标为　 　，B点坐标为　 　，C点坐标为　 　；

（2）如图1，D为B点右侧抛物线上一点，连接AD，若tan∠CAD＝2，求D点坐标；

（3）E、F是对称轴右侧第一象限抛物线上的两动点，直线AE、AF分别交y轴于M、N，如图2．若OMON＝2，直线EF上有且只有一点P到原点O的距离为定值，求出P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A(2，0)，B(4，0), C(0，4)；（2）(，)；（3）P(4，﹣1)

【解析】

（1）令y＝0解一元二次方程求出A、B点的坐标，令x＝0，求出C点的坐标；

（2）过C点作CE⊥AD于点E，则tan∠CAE＝2，先证明Rt△AOC≌Rt△AEC，再求出AD所在的直线解析式为y＝x﹣，最后联立方程组求解D点坐标；

（3）设yAE＝k1x+b1，yAF＝k2x+b2，根据已知可求得k1k2＝，分别求出E与F点坐标，表示出EF所在直线解析式为：y＝（k1+k2+1）x﹣（4k1+4k2+5），直线EF经过的定点即为P点.

（1）令y＝x2﹣3x+4＝0，解得x1＝2，x2＝4，故A（2，0），B（4，0）；令x＝0，则y＝4，所以C点的坐标为（0，4）；

（2）如图，过C点作CE⊥AD于点E，则tan∠CAE＝2，

由（1）知tan∠CAO＝＝2，

∴∠CAE＝∠CAO，

在Rt△AOC和Rt△AEC中，

∠CAE＝∠CAO，

∠AOC＝∠AEC＝90°，

AC＝AC，

∴Rt△AOC≌Rt△AEC（AAS）

∴CE＝4，AE＝2；

设E（m，n），

∴16＝m2+（n﹣4）2，4＝（m﹣2）2+n2，

∴m＝2n，

∴m＝，n＝，

∴E（，），

设AD所在的直线解析式为y＝kx+b，

把点A（2，0），E（，）代入，

解得，k＝，b＝，

∴y＝x﹣，与y＝x2﹣3x+4联立解得，x1＝2，x2＝，

当x＝时，y＝

所以D点的坐标为（，）．

（3）设yAE＝k1x+b1，yAF＝k2x+b2，

经过点A（2，0），

∴yAE＝k1x﹣2k1，yAF＝k2x﹣2k1，

∴OM＝2k1，ON＝2k2，

∵OMON＝2，

∴k1k2＝，

直线AE与抛物线的交点为：x2﹣3x+4＝k1x﹣2k1，

∴E（4+2k1，2k12+2k1），F（4+2k2，2k22+2k2），

∴EF所在直线解析式为：y＝（k1+k2+1）x﹣（4k1+4k2+5），

∴EF直线过定点（4，﹣1），此点到原点的距离为定值，

∴P（4，﹣1）；