Question

如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC=60°，且△ABC外接圆直径为10，则AM=

 

．

Answer 1

考点：三角形的五心

专题：

分析：延长AM交BC于D，延长CM交AB于E，作直径BF，连结AF，由BF为⊙的直径得到∠BAF=90°，根据正弦的定义得到AB=10•sinF=10•sin∠ACB，再根据M为△ABC的垂心得∠ADB=∠AEC=90°，则可得到△AEM∽△ADB，所以

AE

AD

=

AM

AB

，即AM=

AE•AB

AD

，在Rt△AEC和Rt△ADC中，根据锐角三角函数得到AE=

1

2

AC，AD=AC•sin∠ACD，然后把AE、AB、AD分别代入AM=

AE•AB

AD

中进行计算即可．

解答：解：延长AM交BC于D，延长CM交AB于E，作直径BF，连结AF，如图，
∵BF为⊙的直径，
∴∠BAF=90°，
∴sinF=

AB

BF

=

AB

10

，
∴AB=10•sinF=10•sin∠ACB，
又∵点M为△ABC的垂心，
∴AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴△AEM∽△ADB，
∴

AE

AD

=

AM

AB

，即AM=

AE•AB

AD

，
在Rt△AEC中，∠EAC=60°，AC=2AE，即AE=

1

2

AC，
在Rt△ADC中，sin∠ACD=

AD

AC

，即AD=AC•sin∠ACD，
∴AM=

1 2 •AC•10•sin∠ACB

AC•sin∠ACD

=5．
故答案为5．

点评：本题考查了三角形五心：三角形三条高线的交点叫三角形的垂心；三角形外接圆的圆心叫三角形的外心．也考查了锐角三角函数和三角形相似的判定与性质．