Question

【题目】由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法．下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务．问题情境：在四边形ABCD中，AC是对角线，E为边BC上一点，连接AE．以E为旋转中心，将线段AE顺时针旋转，旋转角与∠B相等，得到线段EF，连接CF．

（1）特例如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：AC⊥CF；

（2）拓展分析一：如图2，若四边形ABCD是菱形，探究下列问题：

①当∠B＝50°时，求∠ACF的度数；

②针对图2的条件，写出一般的结论（不必证明）；

（3）拓展探究二：如图3，若四边形ABCD是矩形，且BC＝kAB（k＞1）．若前提条件不变，特例分析中得到的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，修改题中的条件使结论成立（不必证明）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①50°；②∠ACF＝∠B；（3）不成立，当EF＝kAE时，AC⊥CF．

【解析】

（1）如图1中，作EH∥AC交AB于H．只要证明△HAE≌△CEF，即可推出∠AHE＝∠ECF＝135°，由∠BCA＝45°，推出∠ACF＝90°即可；

（2）①如图2中，作EH∥AC交AB于H．只要证明△HAE≌△CEF，即可解决问题．②同①中的证明方法可得∠ACF＝∠B；

（3）结论：当EF＝kAE时，AC⊥CF．如图3中，作EH∥AC交AB于H，AC与EF交于点O．只要证明△HAE∽△CEF，推出∠HEA＝∠F，由∠HEA＝∠CAE，推出∠CAE＝∠F，由∠AOE＝∠FOC，∠EAO+∠AOE＝90°，推出∠FOC+∠F＝90°，即可得到∠OCF＝90°．

（1）证明：如图1中，作EH∥AC交AB于H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，

∵EH∥AC，

∴∠BHE＝∠BAC＝45°，∠BEH＝∠BCA＝45°，

∴∠BHE＝∠BEH＝45°，∠AHE＝135°，

∴BH＝BE，

∴AH＝CE，

∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠AEF＝∠B＝90°，

∴∠HAE＝∠CEF，

在△HAE和△CEF中，，

∴△HAE≌△CEF（SAS），

∴∠AHE＝∠ECF＝135°，

∵∠BCA＝45°，

∴∠ACF＝90°，

∴AC⊥CF；

（2）解：①如图2中，作EH∥AC交AB于H．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，∠BAC＝∠BCA，

∵EH∥AC，

∴∠BHE＝∠BAC，∠BEH＝∠BCA，

∴∠BHE＝∠BEH，

∴BH＝BE，

∴AH＝CE，

∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠AEF＝∠B，

∴∠HAE＝∠CEF，

在△HAE和△CEF中，，

∴△HAE≌△CEF(SAS)，

∴∠AHE＝∠ECF，

∵∠B＝50°，

∴∠BHE＝∠ACB＝65°，

∴∠AHE＝∠ECF＝115°

∴∠ACF＝115°﹣65°＝50°；

②结论：∠ACF＝∠B．证明如下：

同①可得△HAE≌△CEF，

∴∠AHE＝∠ECF．

∴∠B+∠BEH=∠ACF+∠ACB，

又由①知∠BEH=∠ACB，

∴∠ACF=∠B；

（3）解：不成立，当EF＝kAE时，AC⊥CF．理由如下：

如图3中，作EH∥AC交AB于H，AC与EF交于点O．

∵EH∥AC，

∴＝，

∴＝＝，

∵EF＝kAE，

∴＝＝，

∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠AEF＝∠B＝90°，

∴∠HAE＝∠CEF，

∴△HAE∽△CEF，

∴∠HEA＝∠F，

∵∠HEA＝∠CAE，

∴∠CAE＝∠F，

∵∠AOE＝∠FOC，∠EAO+∠AOE＝90°，

∴∠FOC+∠F＝90°，

∴∠OCF＝90°，

∴AC⊥CF．