Question

【题目】定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.

（1）已知M、N线段AB分割成AM，MN，NB，若，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；

（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，求BN的长.

Answer 1

【答案】（1）点M，N是线段AB的勾股分割点，理由见详解；（2）12或13.

【解析】

（1）根据勾股定理的逆定理，即可判断点M，N是线段AB的勾股分割点；

（2）设BN=x，则MN=30-AM-BN=25-x，分3种情况，分类讨论：①当MN是最长边时，，②当BN是最长边时，，③当AM是最长边时，这种情况不存在；分别进行求解，即可.

(1)点M，N是线段AB的勾股分割点，理由如下：

∵，

又∵ ，

∴，

∴以AM，BN，MN为边的三角形是直角三角形，

∴点M，N是线段AB的勾股分割点；

(2)设BN=x，

则MN=30-AM-BN=25-x，

①当MN是最长边时，

∵点M，N是线段AB的勾股分割点，

∴，

∴，

解得：x=12；

②当BN是最长边时，

∵点M，N是线段AB的勾股分割点，

∴，

∴，

解得：x=13；