Question

如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为弧CF的中点，连接交于点，为△ABC的角平分线，且，垂足为点．

（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，，求的长．

Answer 1

（1）连结CE，∠BEC=90°，点为弧CF的中点,所以∠ECF="∠EBC" , 且
所以AD CE,所以∠ECF="∠MAD=∠EBC," 为△ABC的角平分线,得∠MAD="∠BAH=∠EBC," ∠ABH+∠BAH=90°,所以∠ABH+∠EBC =90°，
（2）∵，．
由（1）知，，∴．
在中，于，平分，
∴，∴．
由∽，得．
∴，
∴．

此题考核圆的切线，相似三角形的性质