Question

  如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA，过点P作PD⊥OB于点D．

（1）填空：PD的长为               （用含t的代数式表示）；
（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
（3）在点P从O向A运动的过程中，△PCA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）填空：在点P从O向A运动的过程中，点C运动路线的长为                            

Answer 1

（1）∵△AOB是等边三角形，

∴OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°．
∵PD⊥OB，∴∠PDO=90°，∴∠OPD=30°，∴OD=OP．∵OP=t，∴OD=t，在Rt△OPD中，由勾股定理，得PD= 
（2）如图（1）过C作CE⊥OA于E，∴∠PEC=90°，
∵OD=t，∴BD=4-t．
∵线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，
∴∠BPC=60°．∵∠OPD=30°，
∴∠BPD+∠CPE=90°．∴∠DBP=∠CPE
∴△PCE∽△BPD
∴，
∴，，
∴CE=，PE=，OE=，∴C（，）．
（3）如图（3）当∠PCA=90度时，作CF⊥PA，∴△PCF∽△ACF，∴，∴CF2=PF•AF，
∵PF=，AF=4-OF=2- CF=，
∴（）2=（）（2-），
求得t=2，这时P是OA的中点．
如图（2）当∠CAP=90°时，C的横坐标就是4，
∴2+=4∴t=
（4）设C（x，y），
∴x=2+，y=，∴y=x-，
∴C点的运动痕迹是一条线段．当t=0时，C1（2，0），当t=4时，C2（5，），∴由两点间的距离公式得：C₁C₂=2．

此题考核相似三角形的判定和性质，旋转的性质